Základní principy kvantového výpočetního systému

PETR LUKAŠÍK

TAJMAC-ZPS a.s
Třída 3. května, 1180 Zlín
CZECH REPUBLIC

plukasik@tajmac-zps.cz

MARTIN SYSEL

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně
Fakulta aplikované informatiky
Nad Stráněmi 4511, 760 05 Zlín
CZECH REPUBLIC

sysel@fai.utb.cz

Abstrakt

Kvantová mechanika vstoupila i do oboru informačních technologií. Její razantní nástup byl předznamenán faktem, že klasický přístup, nebo přesněji klasické von Neumannovo schéma patrně relativně brzo narazí na technologickou hranici klasických křemíkových čipů.

Současný trend masivního paralelního zpracování není také samospasitelný protože naráží díky Amdahlovu zákonu na další omezení. Na scénu nastupují další zajímavé obory které si budují své místo na výsluní informatiky. Kromě systémů založených na paralelismu biologických struktur se výrazně prosazuje obor kvantové informatiky, jejíž prvotní základy položili Richard Feynman a Ed Fredkin [4].

Význam kvantových výpočtů je patrný z následujícího tvrzení. Mám-li klasický osmibitový registr, jsem schopen v něm provést najednou 18 výpočtů. Mám-li ovšem k dispozici kvantový osmi-qubitový registr, jsem schopen provést v jednom časovém okamžiku 28 výpočtů. A to opravdu stojí za pozornost. (Kvantový registr o délce 2500 je schopen provést paralelně tolik výpočtů, kolik je zhruba atomů v pozorovatelném vesmíru [8]).

V klasickém výpočetním systému se využívá deterministického přístupu kódování informace na základě binárního kódu, jehož hodnotami jsou předem dohodnuté dvě hladiny napětí, které představují základní informační jednotku - bit . Kvantově mechanický přístup definuje informační jednotku - qubit, která může nabývat nekonečné množství hodnot mezi nulou a jedničkou. Tento přístup připomíná princip analogového počítače, který byl využíván pro modelování dynamických jevů v oblasti regulace. Klasický analogový počítač však postrádá masivní paralelismus, který je ovšem kvantovému počítači vlastní. Hlavním technologickým omezením klasické výpočetní operace (NAND, XOR,...) je fakt, že je prováděna nevratným způsobem. To znamená, že se nelze vrátit na začátek výpočtu, nebo dokonce nelze rekonstruovat z jakých vstupních hodnot vznikl výsledek. Obecně víme, že výsledkem operace NAND jsou dvě vstupní hodnoty, přičemž pro logickou jedničku nezáleží zda byla logická nula na jednom ze vstupů a na kterém, nebo na obou. Důležitý je výsledek. To vede jednoznačně ke ztrátě informace a nárůstu entropie systému, který se díky tomuto jevu zahřívá. To určuje technologickou hranici klasických výpočetních systémů.

Počítače využívající kvantových vlastností hmoty jsou založeny na zcela jiném principu, z čehož ovšem vyplývají jejich téměř zázračné“ vlastnosti, také však omezení a konstrukční potíže s tímto principem spojené. Přestože nalezené kvantové obvody a algoritmy vypadají velmi slibně, jejich zásadním problémem je technická realizace. Qubity jsou buď velmi citlivé na vlivy okolí (například spin elektronu), nebo je obtížné je přinutit, aby spolu vzájemně spolupracovaly, což je pro výpočet zcela nezbytnou vlastností (např foton) . Současné konstrukce jsou řešeny jako jednoúčelové kvantové logické obvody, které řeší jediný konkrétní algoritmus. Zatím ani nevypadá, že by byla obzoru nějaká převratná koncepce, která by umožnila stejné univerzální použití jako u klasické výpočetní techniky. Brzká budoucnost však může velmi rychle řadu nových směrů ukázat.

Důvodem, proč jsou kvantové výpočty naprosto nesrovnatelné s výpočty klasickými, jsou dvě podivuhodné vlastnosti kvantového světa. První vlastností je kvantová provázanost (entaglement - propletenost), která představuje matematickou neoddělitelnost stavů dvou různých kvantových objektů. Příkladem může být spin elektronu. To znamená, vzniknou-li nějakou fyzikální reakcí dva elektrony, jeden se spinem nahoru ↑ a druhý se spinem dolů ↓, pak změníme-li jednomu z nich tento

spin na opačný okamžitě se změní i tomu druhému elektronu spin na opačný. A to přesto, že jsou každý z nich libovolně od sebe daleko. Tato vlastnost je obecně známa pod pojmem EPR (Einstein,Podolski, Rosen) paradox. Ten byl velmi dlouhou dobu tématem filozofických debat mezi Albertem Einsteinem a Nielsem Bohrem, protože zjevně porušuje teorii relativity. Použijeme-li k vysvětlení „selský rozum“, nikdy se nedopátráme vysvětlení. Jak se druhý elektron z páru dozví, že u prvního byl změněn spin? A co když jsou každý na jiném konci vesmíru? Tuto vlastnost nakonec vysvětlil John Stewart Bell s pomocí svých tzv. Bellových nerovností a dal tak za pravdu Nielsi Bohrovi. Jev skutečně funguje, aniž by byla porušena teorie relativity. Úkol vyřešil brilantně protože se na něj nedíval „selským rozumem“. [4].

Druhou vlastností je to, že kvantová částice se může vyskytovat ve zvláštních stavech které jsou klasickou fyzikou nepopsatelné a znamenají, že se daná kvantová částice může vyskytovat na více místech naráz. Což znamená, že elementární kvantové bity nejsou jen nuly a jedničky, ale superpozice těchto stavů. Toto ovšem platí do chvíle než provedeme měření. Má-li být kvantovou informací například spin elektronu, musíme jej velmi dobře izolovat od okolí, pokud nechceme, aby se z například logické jedničky stala samovolně nula. Protože spin je velmi citlivý na magnetické pole. Dalším problémem jsou fázové posuvy při interakci atomů s okolím. Kvantové superpozice jsou velmi křehké. V tom také spočívá jedna z odpovědí, proč nepozorujeme Schrödingerovy kočky)*, tedy superpozice dvou různých stavů (živá a zároveň mrtvá) u makroskopických objektů. Vlivem i nepatrné interakce s okolím, se systém dostává do jednoho z normálních stavů, které jsme zvyklí pozorovat. [8] . Problémem kvantových jevů hmoty je, že zde selhává klasická představivost. Pro pochopení je nutná matematická abstrakce. Je nutno mít také na paměti, že kvantové výpočty jsou pravděpodobnostní. To znamená, že ke správnému výsledku se dostaneme po vícenásobném opakování téhož algoritmu.

Poznámka: Schrödingerova kočka je slavný myšlenkový experiment Erwina Schrödingera, kdy nebohá kočka je díky superpozici radioaktivního nuklidu ve stavu „rozpadnuto – nerozpadnuto” také ve stavu mrtvá a živá zároveň.

1. Qubit - jednotka kvantové informace

V maticovém zápisu jsou jednotlivé stavy qubitu popsány následovně:

Základní operace na qubitu jsou popsány tzv. Pauliho rotačními maticemi. Ty mají v popisu dvoustavového kvantového systému výsadní postavení a přímo určují jeho aritmetiku. Základními operacemi na qubitu jsou bit-flip(σx) - rotace v ose x, fáze-flip(σy) - rotace v ose y a kombinace bit-flip a fáze-flip (σz), což je rotace vose z

Pauliho matice představují matematický základ principu kvantových hradel. Proto je užitečné si tyto relace pamatovat.

2. Znázornění qubitu na Blochově sféře.

Qubit je definován jako dvoustavový kvantový systém, jehož vlastnosti vyplývají zřešení Schrödingerovy rovnice kvantového harmonického oscilátoru. Obecné řešení této rovnice je poměrně velmi komplikované. Dvouhladinový (nebo řekněme přesněji dvoustavový) kvantový systém představuje nejednodušší případ, který lze řešit analyticky. Pro získání představy vlastností Qubitu se však lze tomuto analytickému řešení vyhnout. Lze ukázat, že qubit lze popsat i velmi názorně v geometrii 3D prostoru. To je umožněno vlastnostmi Hilbertova prostoru, který ač je vybudován na velmi abstraktních představách tzv. Banachových prostorů nám umožňuje velmi komplikovanou řeč kvantových zákonů do jisté míry zjednodušit.

Úkolem řešení Schrödingerovy rovnice kvantového harmonického oscilátoru je nalezení tzv. Hamiltonova operátoru. Jeho spektrum vyjadřuje možné hodnoty energie kvantových stavů zkoumaného kvantového systému. Výsledkem řešení dvojhladinového systému je matice o rozměrech 2×2, která je jednoznačně určena čtyřmi reálnými čísly. Zvlastností Hilbertova prostoru vyplývá, že tato matice je tzv. Hermitovská. Stopa Hermitovské matice (součet prvků na hlavní diagonále) je rovna jedné. Tím je řečeno, že existuje způsob, který ze čtyř nezávislých proměnných (ty samozřejmě neumíme znázornit na 3D grafu) dokáže jednu z nich vyloučit. (Právě díky vlastnostem Hilbertova prostoru). Tím dostaneme pouze tři nezávisle proměnné, které lze znázornit na 3D grafu. Situace se ještě zjednoduší tím, že tento graf představuje kulovou plochu, jak se dovíme níže. Na povrchu této koule jsou znázorněny všechny možné hodnoty vektoru vlnové funkce uzavřeného kvantového systému. Obecné řešení časové Schrödingerovy rovnice je ve tvaru:

přičemž počáteční stav vlnové funkce je:

kde koeficienty cn jsou skaláry (obecně komplexní čísla).

Pro dvoustavový kvantový systém lze tedy napsat počáteční stav vlnové funkce následovně:

Dle Eulerova vztahu lze napsat:

Takže dosazením získáme:

Dále platí:

Také platí :

Takže dosazením do výše uvedeného dostaneme známý vztah projekce vektoru vlnové funkce na kulové ploše Blochovy sféry. Konstrukcí cos^2 + sin^22 = 1 jsme se zbavili jedné proměnné. Tím jsme získali jen tři nezávislé proměnné:

Tři proměnné již můžeme znázornit vprostorovém grafu, a získat názornou představu. Nás-ledně si ještě ukážeme, že lze vredukci nezávisle proměnných ještě pokračovat. Výsledek:

lze dále zjednodušit, protože jediné měřitelné hodnoty jsou pravděpodobnosti α a β. Takže násobení stavového prostoru znázorňovaného dvoustavového kvantového systému dalším pravděpodobnostním činitelem (tzv. globální fází) exp(jγ) je bezpředmětné, takže jej můžeme z rovnice vypustit. Tím dostaneme známý tvar projekce vektoru na Blochově sféře v prostoru 3D.

Proč je možné z této rovnice tak snadno vyškrtnout část pro globální fázi vyplývá zvelmi jednoduchého důkazu o komplexním sdružení.

3. Fyzikální představa a realizace kvantového obvodu

Pro realizaci qubitu je nutné najít takový kvantový systém, který je charakterizován dvěma možnými stavy. Příkladem takového systému může být elektron se dvěma možnými hodnotami spinu, foton se dvěma vzájemně kolmými polarizacemi. Principiálně se takový obvod dá popsat kvantovým harmonickým oscilátorem a jeho náhradním elektrickým schématem. Kvantový integrovaný obvod musí být konstruován tak, aby veškeré vodivé části měly nulový odpor aby nedocházelo kžádným ztrátám energie. To je první (nikoliv však postačující) podmínkou k realizaci uzavřeného kvantového systému, tedy takového, který neinteraguje s okolím. To znamená že prvním požadavkem je supravodivost. Kvantový integrovaný obvod musí být ochlazen na teploty, kdy typické energie kT tepelných fluktuací jsou mnohem menší než energie potřebná k přechodu qubitu ze stavu |0> do |1> a naopak. Tato nezbytnost představuje velkou technologickou překážku. [8]

 

Fyzikální představa kvantového bitu jako LC kvantového harmonického oscilátoru je velmi lákavá, protože realizace takového obvodu je celkem snadná. Dále i teoretická představa harmonického oscilátoru je zřejmá, neboť principem harmonického oscilátoru je aproximováno velké množství fyzikálních realizací. Bohužel však LC kvantový obvod nelze použít, protože reprezentace energetických hladin kvantového oscilátoru je 2n. (Obecně nekonečně mnoho). Lineární harmonický oscilátor se díky tomu chová jako analogový obvod, takže nelze rozlišit jednotlivé úrovně energetických hladin qubitu.

Pro konstrukci qubitu potřebujeme nějaký nelineární obvod. Velmi dobrým kandidátem je tzv. SQUID obvod, který se používá například kměření velmi slabých magnetických polí. Využívá principu Josephsonova jevu. Ten je popisován jako vznik elektrického proudu mezi dvěma supravodiči, které jsou odděleny vrstvou izolantu. Izolant je velmi tenký (řádově l < μm). Izolant je zdánlivě nepropustný, ale přesto zde dochází k tunelování. Takže lze měřit proud. Podmínkou je ovšem supravodivost materiálu. [8]

V běžných laboratorních podmínkách lze využít vlastností fotonu. Podmínkou nutnou je však konstrukce zdroje, který umí generovat právě jeden foton. Takový zdroj je technicky realizovatelný. Foton jako qubit je zajímavý ovšem realizace naráží na velmi náročnou výrobu nelineárních optických prvků, které se používají jako měniče fáze (phase shift) od nichž se požaduje co nejmenší útlum. U těchto prvků se využívá tzv. Kerrova jevu. Jedná se o efekt, kdy se index lomu mění úměrně přiloženému elektrickému poli. Právě útlum na těchto prvcích je hlavním technologickým omezením využití fotonu jako jednotky kvantové informace. [8] [10] Nicméně optická hradla jsou k vysvětlení principu velmi vhodná pro jejich názornost.

4.Aritmetika kvantových hradel

Qubit je reprezentován dvěma stavy tzv. základními stavy (computational basis) nebo řekněme základními vektory |0> a |1> na nichž lze provádět měření. Všechny ostatní stavy tzv. (pure states) vytvářejí superpozici α|0>+β|1>, přičemž α2 +β2 = 1, kde α a β jsou amplitudy pravěpodobnosti a α;βC . Z těchto definic lze popsat aritmetiku qubitu a kvantových hradel. Takže například číslo 11 je v osmiqubitovém registru (tedy v jednom qubajtu) zapsáno jako |00001011>. Zápis je podobný jako u klasického bajtu. Ovšem pozor, qubit je vektor! Takže tento zápis ve skutečnosti představuje tenzorový součin. Takže číslo 11 je v qubajtu zapsáno jako

Příklad 1: Kvantový registr o velikosti 3 qubity, může být nastaven např na čísla 6 nebo 7 násle-dujícím způsobem.

V tomto případě je kvantový registr v základním stavu (computational basis) protože obsahuje buď číslo 6 nebo číslo 7. Tento případ se shoduje sklasickým registrem. Kvantový registr ovšem umí registrovat obě čísla naráz (obecně 2n čísel naráz). S tímto faktem se již klasický registr nevyrovná.

Příklad 2: Kvantový registr o velikosti 3 může být nastaven např na čísla 6 a zároveň 7 násle-dujícím způsobem. Poslední qubit může být nastaven na |0> nebo |1> Toho docílíme tak, že připravíme superpozici

Čímž získáme následující superpozici čísel 6 a 7.

Superpozici lze přirovnat k Fourierově rozvoji funkce do trigonometrických ortogonálních řad. Takže rozhodně neplatí(!!!), že

Na obrázku je znázorněna představa superpozice kvantového registru např. tří fotonů. Polarizace jednotlivých fotonů představuje stavy jednotlivých qubitů registru.

Superpozici lze vyrobit pomocí Hadamardova kvantového hradla.

5.Hadamardovo hradlo

Patří mezi základní hradla kvantových obvodů. Výsledkem působení Hadamardova hradla na kvantový objekt je superpozice. Jedná se o velmi zajímavou vlastnost, která je jádrem kvantového paralelismu. Hadamardovo hradlo je definováno předpisem:

to můžeme přepsat do matice:

Člen 1/sqrt(2) je důležitý pro zachování normy vektoru |α2| +|β2| = 1.

Na obrázku je znázorněna představa působení Hadamardova hradla. Je zde znázorněno, že qubit je ve všech stavech mezi 0 a 1. Až měřením získáme výsledek 0 nebo 1 (v tomto případě spravdě-podobností 0.5)

Pro názornou realizaci optického Hadamardova hradla budeme potřebovat jedno polo-propustné zrcadlo (beam-splitter) a dva fázové posuvy (phase-shifter) o π/2 (tj. dvě S hradla) . Princip polopropustného zrcadla je dán transformací

Schéma optického Hadamardova hradla. R a T jsou reflexní a transmisní koeficienty polopropustných vrstev zrcadla. K dosažení efektu polopropustnosti π/2 musí být poměr transmisního i reflexního koeficientu 50% - 50%, takže musí platit: |R|2 +|T|2 = 1 z toho plyne že hodnoty obou koeficientů musí splňovat podmínku 1/sqrt(2). Transformace polopropustného zrcadla π/2 (jednotková kružnice) je dána maticí

Ke konstrukci optického Hadamardova hradla potřebujeme dvě S hradla a jedno B hradlo. To v matematickém zápisu představuje rovnici H = SBS. Maticový zápis je

Příklad 3: Působení Hadamardova hradla na vektor |10>

Nejdříve vypočteme tenzorový součin vektoru |10>:

Dále vypočteme tenzorový součin Hadamardových hradel. (viz. Wals-Hadamardova transformace)

Poznámka: zápis H2 není chápán jako mocnina Hadamardova hradla, ale jako jeho rozměr.

(V tomto případě 2x2).

Výsledný součin je:

To je výsledná superpozice vektoru |10>, když je poslán na Hadamardovo hradlo. Připomínám že ½ je tam proto, aby norma vektoru byla rovna jedné. To vyplývá zpožadavku na matematické vlastnosti Hilbertova prostoru. Vpraxi také není pro změření výsledku důležitá velikost vektoru. Rozhodující je jeho směr. Problémem je nárůst dimenze Hilbertova prostoru, kdy výpočet s přibývajícím 2n nabývá obrovských rozměrů. To je jeden zdůvodů proč je simulace kvantových výpočtů a algoritmů na klasickém počítači dobrá jen k demonstračním účelům. Druhým důvodem je nemožnost simulace kvantového paralelismu. Ta probíhá jen na skutečných kvantových obvodech.

6.Závěr

Kvantové výpočty představují velmi perspektivní disciplínu voblasti speciálních úloh, které vyžadují velké množství paralelních výpočtů. Jedním zpříkladů je například Shorův algoritmus pro řešení NP úplného problému, který představuje např. RSA algoritmus. Druhou velmi slibnou oblastí je řešení a předpovídání reakcí chemických sloučenin. Další oblastí jsou úlohy spadající do teorie chaosu. Rozhodně si nemůžeme představit kvantové počítače jako univerzální řešiče úloh, které běžně svěřujeme klasické výpočetní technice. Zásadním přínosem je masivní paralelismus a možnost simulovat děje, vyplývající ze samotné podstaty přírody.

7.Literatura

[1] Blank, J.; Řezáčová, K.; Exner, P.; aj.: Lineární operátory v kvantové fyzice. Karolinum, 1993, ISBN 9788070665862. URL http://books.google.cz/books?id=aE8DAQAACAAJ

[2] Demlová, M.; Nagy, J.: Algebra: Vysokoškol. příručka pro vys. šk. techn. směru. Matematika pro vys. školy technické, SNTL, 1982. URL http://books.google.cz/books?id=-_zgHAAACAAJ

[3] Feynman, R.; Leighton, R.; Sands, M.; aj.: Feynmanovy přednášky z fyziky s řešenỳmi příklady 3/3. ￿￿slo sv. 3 in Feynmanovy přednášky z fyziky s řešenỳmi příklady, Fragment, 2002, ISBN 9788072004218. URL http://books.google.cz/books?id=XswsPQAACAAJ

[4] HEY, T.; WALTERS, P.: Nový kvantový vesmír. Cambridge University Press, Cambridge 2003, 2003.

[5] KULHÁNEK, P.: TF1 Teoretická mechanika. FEL ČVUT, 2001/2011. URL www.aldebaran.cz

[6] KULHÁNEK, P.: TF2 Kvantová teorie. FEL ČVUT, 2001/2011. URL www.aldebaran.cz

[7] Naylor, A.; Sell, G.: Linear Operator Theory in Engineering and Science. Applied Mathematical Sciences, Springer, 2000, ISBN 9780387950013. URL http://books.google.com.pe/books?id=t3SXs4-KrE0C

[8] NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L.: Quantum Computing. Cambridge University Press, Cambridge 2000, 2000.

[9] Obetková, V.; Mamrillová, A.; Košinárová, A.; aj.: Teoretická mechanika. Edícia matematicko-fyzikálnej literatúry, Alfa, 1990, ISBN 9788005005978. URL http://books.google.cz/books?id=PI_pAAAACAAJ

[10] OPATRNÝ, T.; RICHTEREK, L.: Vybrané partie současné fyziky. Katedra teoretické fyziky Přírodovědecká fakulta Univerzita Palackého, 2005.

[11] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Česká Matice technická, SNTL, 1973. URL http://books.google.cz/books?id=8enzHAAACAAJ

 [12] Skála, L.; Akademie věd České republiky Praha, Č.: Úvod do kvantové mechaniky. Academia, 2005, ISBN 9788020013163.URL http://books.google.cz/books?id=AamyAAAACAAJ

[13] Šulista, M.: Základy analýzy v komplexním oboru. ČVUT, 1976. URL http://books.google.cz/books?id=AQbpLwEACAAJ

[14] Zsigmond, P.; Frey, T.: Vektorová a tenzorová analýza. Teoretická knižnice inž, SNTL, 1964. URL http://books.google.cz/books?id=t2mfNAAACAAJ