Matematický model lázňové extrakce

Grygar Vojtěch

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně
Fakulta aplikované informatiky
 Nad Stráněmi 4511
760 05 Zlín

 email: grygar@fai.utb.cz

Abstrakt příspěvku v českém jazyce:

Obsahem článku je modelování extrakčního procesu vázané a nevázané složky na tuhou fázi pro lázňové rozložení extrakce. Na základě řešeného deterministického modelu extrakce je odvozena nákladová funkce. Za účelem optimalizace procesu byla vytvořena funkční programová aplikace vprostředí Matlab, pomocí níž lze nalézt optimální množství extrakčního činidla a stanovit minimální náklady pro extrakci zpevné fáze. Program umožňuje zobrazit nákladovou křivku, 2D a 3D graf bezrozměrného koncentračního pole vypírané složky ztuhé fáze. Druhá část programové aplikace řeší výpočet difuzního koeficientu znaměřených dat.

Abstrakt příspěvku v angličtině:

The article deals modeling extraction process of bound and unbound substance for bath extraction. Based on the deterministic model of the extraction solution is derived cost function. In order to optimize the process, it was created a functional application programming in Matlab, which can be found the optimal amount extraction‘s reagent to provide the minimum cost for the extraction of the solid phase. The program lets you view the cost function, 2D and 3D graph dimensionless concentration field washing of the solid phase component. The second part of the program solves the calculation of diffuse coefficient from the measured data.

Úvod

Součástí mnoha technologických procesů, převážně v chemickém, petrochemickém, farmaceutickém a potravinářském průmyslu, jsou operace, které jsou založeny na principu extrakce. Extrakcí se nazývá separační (difuzní, dělící) metoda, využívající principu difuze tj. samovolného přenosu látky ve vhodném rozpouštědle, zoblasti vyšší koncentrace, do oblasti snižší koncentrací vlivem tepelného pohybu. Mezi extrakční procesy se řadí také prací procesy, které jsou součástí téměř každé technologie. Proto je velmi významné se zabývat jejich optimalizací.

Hlavním cílem extrakce je získat cenné popř. separovat nežádoucí rozpustné látky ze surovin, které lze rozpustit vkapalných rozpouštědlech v tzv. extrakčních činidlech. [1]

Vhodná volba rozpouštědla ovlivňuje průběh extrakce. Hlavními hledisky jsou selektivita, měrná hmotnost, povrchové napětí, vzájemná dobrá rozpustnost, viskozita, pro další zpracování též napětí par, možnost rekuperace, korozívnost, jedovatost, hořlavost, teplota tuhnutí ale i cena a jeho dostupnost na trhu.

Suroviny, jež jsou extrahovány, se spolu s extrakčními činidly směšují ve speciálních zařízeních, zvaných extraktory, které jsou součástí extrakčních zařízení. Tato zařízení lze dělit na jednostupňové a mnohastupňové a na zařízení snepřetržitým nebo periodickým provozem. [2]

Použitím nevhodných zařízení nebo extrakčních činidel popř. jejich množství se proces stává méně účinným a finančně nákladným, což se promítá do ceny celkové výroby. Proto je nutné nalézt optimální množství extrakčního činidla a navrhnout vhodné extrakční zařízení.

Pro minimalizaci nákladů je nezbytné tyto procesy bilancovat a následně optimalizovat a to buď cestou přímého, nebo nepřímého modelování snáslednou verifikací matematického modelu. Podstata přímého modelování spočívá vprovádění experimentálního pokusu na modelu reálného zařízení. Pomocí této metody je snahou bez výpočtů a matematických analýz získat odpověď na to, jak se zkoumané zařízení bude chovat v provozu. Proto se při sestavování matematických modelů vychází ze zjednodušených vlastností procesů. Provedením experimentu pomocí navrženého matematického modelu se hovoří o tzv. simulaci zařízení.

Modelování extrakčního procesu vtuhé fázi

Účelem je snížení množství složky vpevné fázi, přičemž se využívá rozdílných chemických potenciálů extrahované složky vpevné fázi a extrakční lázní. Vprovozních podmínkách extrakčního procesu se může měnit pevná fáze, ať už po chemické nebo fyzikální stránce, to nejen komplikuje návrh matematického modelu, ale činí řešení těchto modelů značně obtížným a složitým. Složitost a pracnost obecného řešení může vněkterých případech překrývat i praktický účel modelování technologických procesů. Ztohoto důvodu se pod pojmem extrakční proces rozumí taková technologická operace, kdy během extrakce je podstatné a rozhodující snížení množství extrahované složky, přičemž změny pevné fáze během extrakčního procesu jsou zanedbatelné.

Mezi extrakční operace řadíme i prací procesy, které lze popsat difuzními modely, což jsou takové matematické modely, u kterých se předpokládá, že transport vypírané látky uvnitř pevné fáze lze popsat 2. Fickovým zákonem, jehož řešením, sohledem na počáteční a okrajové podmínky, získáme průběh koncentračního pole vtuhé fázi a vextrakční lázni. [3]

Vypírání vázané složky - lázňová extrakce

Jedná se o typ pracího procesu, kdy extrahovaná složka vsurovině je vložena do určitého objemu extrakčního činidla.

Obrázek 1 - lázňová extrakce

Dynamiku praní vázané složky lze považovat za zvláštní případ difuze schemickou reakcí, přičemž difundující látka nám chemickou reakcí vzniká. Vztáhne-li se reakční rychlost vzniku dané složky na jednotkový objem a jednotku času, je možné bilanci extrahované složky vpevné fázi popsat takto [3], [4]

(1)

Ztoho vyplývá, že reakční rychlost vzniku vyvolá ekvivalentní změnu vhustotě difuzního toku J a akumulaci. Za předpokladu platnosti jednoduchých difuzních vztahů lze rovnici (1) přepsat na tvar:

(2)

kde

(3)

, - rychlost změny koncentrace

pro koncentraci vázané složky platí

(4)

aplikací vztahu (4) na (2) se získá po úpravě

(5)

kde

(6)

Základní deterministický difuzní model sdanými podmínkami tvoří matematickým modelem lázňové extrakce

, , (7)

symetrii koncentračního pole vpevné fázi značí podmínka

(8)

bilanční vztah, podle kterého je rychlost sdílení hmoty extrahované složky na povrchu tuhé fázi rovna akumulaci této složky vlázni

(9)

okrajová podmínka prvního druhu - předpoklad dokonalého míchání fáze

(10)

na začátku extrakce je konstantní rozdělení koncentrace vtuhé fázi

(11)

pro lázňovou extrakci je použito čisté rozpouštědlo

(12)

Pro obecnější vyjádření a zjednodušení výpočtu byly zavedeny bezrozměrné veličiny

, , , , (13)

Řešení modelu [5], [6] je provedeno pomocí Laplaceovy transformace, kde výsledkem jsou získány vztahy pro výpočet:

bezrozměrného koncentračního pole vypírané látky v tuhé fázi

(14)

bezrozměrná koncentrace vypírané látky vlázni

(15)

stupně pracího procesu

(16)

kde jsou kořeny transcendentní rovnice

(17)

Obrázek 2 - Grafické určení kořenů transcendentní rovnice (17)

Matematický model popisuje extrakci vázané složky na tuhou fázi. Univerzálnost modelu spočívá vtom, že pokud síla vazby je rovna K=0, matematický popis se změní na popis nevázané složky.

Programová aplikace

Zvýše uvedených vztahů (14, 15, 16) je patrné, že výpočty jsou poměrně komplikované, a proto bylo potřeba vytvořit funkční programovou aplikaci. Pro tyto účely bylo zvoleno programové prostředí Matlab od firmy Humusoft. Pomocí aplikace lze nalézt optimální množství extrakčního činidla a stanovit minimální náklady pro extrakci zpevné fáze. Program umožňuje zobrazit nákladovou křivku, 2D a 3D graf bezrozměrného koncentračního pole vypírané složky ztuhé fáze. Druhá část programové aplikace řeší výpočet difuzního koeficient znaměřených dat. [8], [9]

Po spuštění programu se zobrazí úvodní okno pro zadávání parametrů pro výpočet optimalizace procesu

Obrázek 3 - Úvodní obrazovka programu pro optimalizaci extrakce

Vyplněním všech polí důležitých pro výpočet se vnásledujícím okně zobrazí vypočítané optimální hodnoty procesu.

Obrázek 4 - Okno zobrazující vypočítané optimální hodnoty

Závislost stupně extrakčního procesu na bezrozměrném čase

Kořeny qn, které byly nalezeny numerickou metodou, byly do rovnice pro výpočet stupně extrakčního procesu (16) dosazovány spolu s hodnotami námokové čísla Na a bezrozměrného času Fo zpředem definovaného intervalu, za účelem zisku několika závislostí pracího procesu na bezrozměrném čase Fo.

Obrázek 5 - Závislosti pracího procesu na bezrozměrném čase pro různé spotřeby činidel Na

Zprůsečíků závislostí a požadovaného stupně extrakčního procesu (0,75) se pomocí vztahu určí časy, které jsou nutné pro vykreslení nákladové funkce.

Nákladová funkce

Celkové náklady Nk jsou dány součtem nákladů na spotřebovávanou energii Ne a nákladů na spotřebované extrakční činidlo Nc.

Nk=Ne+Nc (18)

Náklady energie jsou dány součinem ceny elektrické energie ke, příkonu motoru P pro pohon míchadla a času t

Ne=kePt (19)

Náklady na spotřebovávané činidlo jsou dány součinem ceny činidla kc a jeho objemu Vo

Nc=kcVo (20)

Nákladová funkce je tedy závislost celkových nákladů Nk na množství spotřebovaného rozpouštědla Vo, popř. námokového čísla Na, protože a V = konstantní - objem pevné fáze. [5]

Obrázek 6 - Nákladová funkce stanovena pomocí programové aplikace

Bezrozměrné koncentrační pole vypírané složky ztuhé fáze

Koncentrační pole zobrazuje množství koncentrace vypírané látky vkonkrétním místě a čase.

Obrázek 7 - 2D graf bezrozměrného koncentračního pole vypírané složky v tuhé fázi

Obrázek 8 - 3D graf bezrozměrného koncentračního pole vypírané složky v tuhé fázi

Bezrozměrná koncentrace vypírané složky vlázni

Graf na následujícím obrázku zobrazuje množství koncentrace extrahované složky ztuhé fáze vextrakční lázni.

Obrázek 9 - Bezrozměrná koncentrace vypírané složky v lázni

Závěr

Výhodou matematického modelování extrakčního procesu vtuhé fázi je především získání představy o množství extrahované látky vtuhé fázi a vextrakčním činidle vkonkrétním čase. Aby extrakční proces byl účinný a zároveň finančně dostupný, je nutné jej vhodným způsobem optimalizovat, tj. zajistit největší výtěžnost extrahované látky při nejmenších provozních nákladech. Vprostředí Matlab byla vytvořena programová aplikace pro stanovení nákladové funkce, která je dána součtem nákladů na spotřebovanou elektrickou energii míchacího zařízení a množství spotřebovaného extrakčního rozpouštědla. Aplikace značně urychlí výpočet optimálních hodnot daného extrakčního procesu, tj. nalezení optimálního množství extrakčního činidla a doby, po jakou se má extrakce provádět tak, aby bylo dosaženo co nejmenších nákladů na proces. Program umožňuje zobrazit nejen nákladovou křivku, ale i 2D a 3D graf bezrozměrného koncentračního pole vypírané složky vtuhé fázi a koncentraci vypírané složky v lázni. Navíc je univerzální a lze jej použít na všechny procesy, na které můžeme aplikovat výše uvedený matematický model.

Literatura:

[1] HOVORKA, František, Technologie chemických látek, 1. vydání, Vysoká škola chemicko-technologická vPraze, Praha 2005, ISBN 80-7080-588-9

[2] PILAŘ, Antonín, NÝVLT, Jaroslav, MACHAČ, Ivan, Chemické inženýrství III, 1. vydání, SNTL-Nakladatelství technické literatury, Praha 1, 1972, 344s.

[3] KOLOMAZNÍK, Karel, Modelování zpracovatelských procesů, 1. vydání, Brno: Vysoké učení technické vBrně, 1990, 191s. ISBN 80-214-01141

[4] JANÁČOVA, Dagmar, Modelování extrakčních procesů, teze habilitační práce, Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 2002 s. 20, ISBN 80-248-0194-9

[5] GRYGAR, Vojtěch, Modelování jednostupňové extrakce, Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, bakalářská práce, 2009

[6] CHARVÁTOVÁ, Hana, Modeling of pelt chemical deliming, Disertační práce, Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Zlín, 2007

[7] KASATKIN, Andrei, G., Základní pochody a přístroje chemické technologie II, 1. vydání, Praha: Technicko-vědecké vydavatelství, 1954, 354s.

[8] ZAPLATÍLEK, Karel, DOŇAR, Bohuslav, MATLAB tvorba uživatelských aplikací. Praha 2005, 216s. ISBN 80-7300-133-0

[9] KOVÁŘÍK, Martin, Počítačové zpracování dat vprogramu MATLAB, Bučovice 2008, 278s. ISBN 978-8087106-09-9

Seznam použitých symbolů a zkratek

Symbol		Význam		Jednotka
b		poloviční tloušťka extrahované tuhé fáze		[m]
		Koncentrace nevázané složky vpevné fázi		[kg.m-3]
C		Bezrozměrné koncentrační pole extrahované složky vtuhé fázi		[1]
		Koncentrace vázané složky		[kg.m-3]
		Koncentrace extrahované složky v lázni		[kg.m-3]
		Bezrozměrné koncentrace složky vlázni		[1]
		Počáteční koncentrace složky vtuhé fázi		[kg.m-3]
D		Hodnota difuzního koeficientu		[m2.s-1]
		Porozita		[1]
Fo		Fourierovo kritérium, bezrozměrný čas		[1]
J		hustota difuzního toku		[mol.m-2.s-1]
K		Rovnovážná konstanta sorpce (síla vazby sorbované složky na tuhou fázi)		[1]
k		Konstanta,		[1]
kE		Měrná cena elektrické energie		[Kč.kWh-1]
kC		Měrná cena extrakčního činidla		[Kč.m-3]
Nc		Náklady na extrakční činidla		[Kč]
Ne		Náklady na elektrickou energii		[Kč]
Nk		Celkové provozní náklady		[Kč]
Na		Námokové číslo, bezrozměrná spotřeba extrakční kapaliny		[1]
P		Příkon elektromotoru pro pohon míchadla		[kWh]
qn		n-tý kořen transcendentní rovnice		[1]
r		bilance extrahované vázané složky		[1]
t		Čas		[s]
T		teplota		[K]
V		Objem pevné fáze		[m3]
V0		Objem extrakční kapaliny		[m3]
x		Souřadnice polohy		[m]
X		Bezrozměrná vzdálenost		[1]
y		Stupeň pracího procesu		[1]