Využití Hammersteinova a Wienerova modelu při diskrétním adaptivním řízení nelineárních procesů

1. Abstrakt:

Tento příspěvek se zabývá využitím Hammersteinova a Wienerova modelu při řízení nelineárních procesů pomocí metod lineárního adaptivního řízení. Snahou je využít principy faktorizačních metod, kdy je systém rozkládán na lineární a nelineární část, pro zvýšení kvality adaptivního řízení nelineárních systémů. Ve zde popisovaném případě uvažujeme rozklad řízeného nelineárního systému na statickou nelineární a dynamickou lineární část. Nelineární část je vhodným způsobem linearizována a lineární část je využita při návrhu lineárního řídicího systému.

Přenos lineární části systému je uvažován ve tvaru d-modelu druhého řádu, kterým aproximujeme spojitý přenos systému. Pro identifikaci parametrů d-modelu je použita průběžná verze metody nejmenších čtverců. Získané parametry jsou následně využity při návrhu spojitého řídicího systému, který je představován dvojicí zpětnovazebních regulátorů (TFC).

Popisovaná metoda je ověřována na matematických modelech dvojice do série zapojených nádrží na kapalinu skonstantním a proměnným průřezem vprostředí programu MathWorks Matlab.

2. Abstract

The using of the Hammerstein and Wiener models in the linear adaptive control of the nonlinear processes is described in this paper. The main aim of this research is an increasing of the adaptive control quality by using the factorable methods. These methods are based on the fact that many nonlinear systems can be divided into the linear and nonlinear parts. In this paper, we assume that the nonlinear system can be factorized into the nonlinear static part and the linear dynamic part. The nonlinear part is linearized by a suitable method and the linear part is used for the design of the linear controller.

The transfer function of the linear part of the nonlinear system is considered in the second-order d-model form. Its parameters are estimated by using the time-continuous least-squares method. The parameters are used for the design of the time-continuous linear control system, which is represented by two feedback controllers (TFC).

This described method is tested on the nonlinear systems which are represented by the mathematical models of two liquid tanks in series with constant and variable round cross-sections.

3. Úvod

Nelineární řízení procesů představuje oblast teorie řízení, která je prozkoumána mnohem méně než klasická lineární teorie řízení. Je to dáno především skutečností, že na rozdíl od lineárních systémů zde existuje pouze minimum metod a postupů, které lze obecně využít pro analýzu nebo syntézu nelineárních systémů. Navíc tyto metody jsou ve srovnání smetodami používanými pro analýzu a syntézu lineárních systémů výrazně složitější a vyžadují podstatně hlubší znalosti zteorie řízení, matematiky, fyziky a mnoha dalších vědeckých oborů. Návrh nelineárního řídicího systému je tak výrazně náročnější a zpravidla jej nelze zobecnit a musí tak být prováděn pro každý systém samostatně.

Při návrhu řídicího systému pro reálný nelineární systém tak zpravidla předpokládáme, že jej lze alespoň vokolí pracovního bodu linearizovat a nahradit tak systémem lineárním, pro který lze řídicí systém navrhnout poměrně jednoduše.

Nalezení metod, které mohou návrh nelineárního regulátoru zjednodušit či zefektivnit, tak představuje perspektivní oblast teorie, protože naprostá většina reálných systémů je ze své podstaty více či méně nelineární.

Řízení nelineárních procesů pomocí pevně nastavených lineárních regulátorů, které je vpraxi často využíváno, má však mnohá omezení. Problémy nastávají především u systémů svýraznou nelinearitou nebo u systémů smnoha pracovními body, kdy už jednoduchá náhrada jedním lineárním modelem nestačí. Vtakovém případě může být kvalita regulačního pochodu velmi nízká a vnejhorším případě může dokonce dojít i knestabilitě regulačního pochodu.

Řešení tohoto problému zpravidla spočívá vtom, že lineární náhradu systému a návrh regulátoru provádíme vkaždém pracovním bodě systému zvlášť. Tento postup je však časově velmi náročný a proto hledáme metody jak tuto činnost co nejvíce zautomatizovat a zefektivnit.

Jednou zmožností jak tento problém vyřešit je použití adaptivních metod řízení (např. v [2], [3], [5]). Tyto metody zpravidla kvalitu řízení podstatně zvýší, avšak nejlépe fungují vpřípadě, kdy je rychlost identifikace parametrů lineárního modelu výrazně vyšší než jejich změna vdůsledku nelinearity systému. To však může být u některých systémů problém a navíc adaptivní metody si často neumějí poradit snelinearitami typu Dead Zone a saturace.

Další poměrně jednoduchou a vpraxi relativně snadno aplikovatelnou metodou je metoda vycházející zpředpokladu, že nelineární systém lze rozdělit na lineární a nelineární část (např. v [1], [2], [7]). Poté postupujeme tak, že nelineární část systému linearizujeme a následně pro tento linearizovaný systém navrhneme lineární regulátor. Vpraxi nejpoužívanější je metoda, kdy předpokládáme, že se systém skládá znelineární statické části a lineární dynamické částí. Podle jejich vzájemné pozice pak hovoříme o Wienerově nebo Hammersteinově modelu systému [1], [7].

Tato metoda má však také některá omezení: zdaleka ne každý systém lze jednoznačně rozložit na vzájemně nezávislou lineární a nelineární část a navíc vpraxi nelze předpokládat úplnou stabilitu parametrů systému.

Vtomto příspěvku se pokusíme zkombinovat metody adaptivního řízení a rozkladu systémů. Snahou bude zjistit, zda lze takto odstranit, nebo alespoň omezit negativní vlastnosti jednotlivých metod a rozšířit tak oblast jejich použitelnosti.

Navržené metody budou testovány simulačně vprostředí Simulink Matlab. Pro účely simulace byly zvoleny modely dvojice zásobníků na kapalinu – první znich je představován dvojicí zásobníků skonstantním průřezem, u kterého je nelinearita dána především statickou charakteristikou ventilu a druhý pak dvojicí kulových zásobníků – tento model je tedy výrazně nelineárnější.

4. Hammersteinův a Wiesnerův model nelineárního systému

Hammersteinův a Wienerův model systému vychází zpoměrně jednoduchého a vpraxi pro mnoho systémů poměrně dobře splněného předpokladu, že nelineární systém lze rozložit na lineární a nelineární části, které jsou sice mezi sebou propojené, ale navzájem se neovlivňují. Tento předpoklad je nejlépe splněn pro takové systémy, které mají na vstupu nebo výstupu dominantní nelinearitu.

Pokud je nelinearita na vstupu systému, hovoříme o tzv. Hammersteinově modelu systému (viz. obr. 1), pokud je naopak na výstupu systému, pak hovoříme o tzv. Wienerově modelu (viz. obr. 2).

Obr. 1. Hammersteinův model nelineárního systému

Obr. 2. Wienerův model nelineárního systému

Hammersteinův model NH

- představuje kaskádovou strukturu, skládající se ze za sebe řazené nelineární statické části a lineární dynamické části. Tento model lze popsat následují soustavou rovnic (zde předpokládáme, že lineární dynamická část je vyjádřena jako diskrétní Z-model, nicméně velmi podobné vztahy lze odvodit také pro spojitý S-model, popř. d-model):

	(1)
	(2)

Hammersteinův model lze použít pro popis systémů, u kterých je nelinearita způsobena především akčními členy (např. saturace, Dead Zone, apod.)

Wienerův model NW

- představuje kaskádovou strukturu, skládající se ze za sebe řazené lineární dynamické části a nelineární statické části. Model lze popsat následují soustavou rovnic:

	(3)
	(4)

Wienerův model je vhodný po systémy snelineárními měřícími členy, popř. pro návrh řídicího systému.

5. Matematické modely zásobníku na kapalinu

5.1. Zásobníky skonstantním průřezem

Uvažujme dvojici do série zapojených zásobníků na kapalinu znázorněnou na obr. 3.

Obr. 3. Dvojice válcových zásobníků na kapalinu s

konstantním průřezem [11]

kde: qx představuje objemové průtoky kapaliny [m3min-1], h výšky hladin [m] a F průřezy zásobníků [m2].

Bilanci pro oba zásobníky můžeme vyjádřit jako:

Pokud si objemy zásobníků označíme jako V1 a V2, potom platí následující bilanční rovnice:

(5)

Protože průřezy zásobníků jsou konstantní, můžeme změny objemů vyjádřit jako změnu výšky hladiny a následně rovnice (5) přepsat na tvar:

(6)

s počátečními podmínkami , .

Pro průtok média přes ventil platí, že je úměrný druhé odmocnině zrozdílu tlaků před a za ventilem. Vtomto případě jde tedy o hydrostatické tlaky úměrné výškám hladin vzásobnících a průtoky můžeme vyjádřit jako:

(7)

Pokud dosadíme (7) do (6) a rovnice upravíme, získáme dvojici nelineárních diferenciálních rovnic, které popisují dynamický model systému:

(8)

Položíme-li levou stranu rovnice (8) rovnu nule, získáme po úpravě model ustáleného stavu. Ten je nezbytný především pro výpočet počátečních podmínek:

(9)

(úprava první části vztahu (8) je možná proto, že vustáleném stavu vždy platí )

Model ustáleného stavu nám rovněž, jak bude uvedeno dále, poslouží při linearizaci systému pomocí Hammersteinova a Wienerova modelu.

5.2. Zásobníky snekonstantním průřezem

U zásobníku na kapalinu skonstantním průřezem byla nelinearita systému dána pouze nelineárními vztahy (7) vyjadřujícími závislost průtoku na výšce hladiny vzásobníku. U zásobníků snekonstantním průřezem je však nelinearita výraznější, neboť je navíc dána nelineární akumulací kapaliny vzásobnících, která je závislá na výšce hladiny (poloze pracovního bodu). [11]

Uvažujme dvojici do série zapojených zásobníků na kapalinu znázorněnou na obr. 4.

Obr. 4. Dvojice kulových zásobníků na kapalinu [11]

kde: qx představuje objemové průtoky kapaliny [m3min-1], h výšky hladin [m] a d průměry zásobníků [m].

Je zřejmé, že průřez zásobníku (a tady i přírůstek objemu kapaliny) je funkcí výšky hladiny.

Obr. 5. Kolmý průřez kulovým zásobníkem na kapalinu [11]

Zobr. 5 je patrné, že platí:

(10)

a změna objemu zásobníku vtomto místě se tak bude řídit rovnicí:

(11)

Pokud vztah (11) dosadíme do základních bilančních rovnic obou zásobníků:

(12)

úpravou získáme:

(13)

kde průtoky q1 a q2 jsou opět dány vztahy (7).

Model ustáleného stavu je shodný smodelem zásobníků skonstantním průřezem (9).

6. Hammersteinův model lineárního systému

Metodu, která bude dále využívána při linearizaci nelineárního systému, si popíšeme na následujícím lineárním příkladě.

Předpokládejme lineární přenosovou funkci 2. řádu ve tvaru

(14)

Systém vtomto tvaru si můžeme rozložit na statické zesílení K:

(15)

a dynamickou část systému:

(16)

Pozn.: Toto rozložení lze uvažovat jen vpřípadě stabilních systémů

Obecně tedy můžeme Hammersteinův model lineárního systému uvažovat ve tvaru:

- pro S-modely

(17)

- resp. pro Z-modely

(18)

Podobnou úvahu nyní aplikujeme na nelineární systémy a budeme uvažovat následující:

Statická charakteristika systému:

(19)

Dynamický model nelineárního systému potom budeme uvažovat (pro zjednodušení předpokládejme, že platí , resp. ) a pro systém bez dynamiky by platilo pro všechna :

(20)

7. Hammersteinův model dvojice do série zapojených zásobníků na kapalinu

Hammersteinův model budeme uvažovat shodný jak pro zásobníky skonstantním, tak také snekonstantním průřezem. Jeho schéma je znázorněno na obr. 6.

Obr. 6. Zjednodušený Hammersteinův model dvojice zásobníků na kapalinu

7.1. Statická nelineární část

Vztahy:

(21)

popisující statickou charakteristiku dvojice zásobníků na kapalinu vzájemně zkombinujeme tak, abychom získali závislost výšky hladiny ve druhé nádrži na přítoku do jednotlivých nádrží a :

(22)

Vztah (22) platí přesně pouze vustáleném stavu. Pro naše účely automatického řízení však musíme uvažovat jisté zjednodušení, které nám umožní vztah (22) využít pro linearizaci systému.

Budeme tedy předpokládat:

· mění se pouze přítok do první nádrže (akční veličina systému)

· přítok do druhé nádrže je konstantní nebo rychlost jeho změny je zanedbatelná vzhledem kdynamice systému (poruchová veličina)

· veškeré dynamické děje vsystému zahrnujeme do lineární dynamické části modelu

· dynamická část systému neovlivňuje statickou část systému

Vztah (22) potom přepíšeme tak, aby odpovídal situaci na obr. 6:

(23)

kde: , a

Vztah (23) má již pouze omezenou platnost, problémy nastávají především při výrazných změnách žádané hodnoty (hladiny resp. průtoku), kdy výše uvedené předpoklady již nejsou splněny sdostatečnou přesností. Pro naše účely, kdy se snažíme zvýšit kvalitu regulace co nejjednoduššími prostředky, se však jeho přesnost zdá být dostatečná.

7.2. Dynamická lineární část

Dynamickou část budeme uvažovat jako lineární d-model:

(24)

který aproximuje spojitý lineární model druhého řádu:

(25)

Regresní vektor má tedy tvar:

(26)

kde:

	(27)
	(28)
	(29)

Vektor parametrů d-modelu:

(30)

je odhadován rekurzivně zrovnice:

(31)

kde:

(32)

Odhady parametrů jsou poté vypočítávány pomocí rekurzivní metody nejmenších čtverců se směrovým zapomínáním. Přesný popis této metody lze nalézt např. v [2],[5],[6].

8. Základní struktura navrhovaného řídicího systému:

Obr. 7. Schematické znázornění uzavřeného regulačního obvodu pomocí

Hammersteinova a Wienerova modelu

Na obr. 7 je schematicky znázorněn regulační obvod, ve kterém je řízený systém znázorněn pomocí Hammersteinova modelu a řídicí systém pomocí Wienerova modelu, kde:

YW – lineární dynamická část řídicího systému (obecný lineární regulátor navržený pro lineární část řízeného systému pomocí libovolné metody lineární syntézy)

fW – nelineární statická část řídicího systému

fH – nelineární statická část řízeného systému

YH – lineární dynamická část řízeného systému

Základní myšlenku jak kompenzovat nelinearitu řízeného systému lze vyjádřit následujícím způsobem:

Pokud zvolíme, že platí , potom můžeme (obr. 7) psát následující vztah:

(33)

Z rovnice (33) můžeme vyvodit následující tvrzení:

„Pokud jsme schopni nelinearitu vsystému sdostatečnou přesností popsat pomocí vhodně zvolené funkce (funkcí) , která je minimálně po částech invertovatelná, pak jsme také schopni vliv této nelinearity vsystému potlačit.“

Přesnost a účinnost linearizace však narůstá nejen spřesností popisu nelinearity, ale především vzávislosti na tom, jak dobře jsou splněny počáteční předpoklady pro použití Hammersteinova a Wienerova modelu – tedy zda se lineární a nelineární část vzájemně neovlivňují, zda je dynamická část systému skutečně lineární, zda je zaručena časová stabilita parametrů systému apod.

9. Linearizace systému dvojice zásobníků na kapalinu

Abychom (alespoň částečně) odstranili vliv nelinearity systému, který je představován dvojicí zásobníků na kapalinu (s konstantním nebo nekonstantním průřezem), budeme uvažovat následující:

(34)

kde: , a

Ktéto funkci nyní nalezneme její inverzi a získáme tak statickou nelineární část Wienerova modelu, který bude následně použit jako regulátor.

(35)

Vnašem případě je získání inverzní funkce velmi jednoduché, protože originální funkce je představována polynomem 2. řádu.

Pro jednoduchost si proměnné v (34) přeznačíme:

(36)

Potom můžeme psát:

(37)

Funkci upravíme na tvar

(38)

kde: a

Úpravou vztahu (38) a dosazením za koeficienty A, B, C a proměnné x a y získáme výsledný linarizující vztah:

(39)

10. Návrh systému řízení

Jako systém řízení byla zvolena konfigurace se dvěma lineárními polynomiálními regulátory. Její schematické znázornění je na obr. 9.

Obr. 9. Regulační obvod se dvěma zpětnovazebními regulátory [4]

Přenosy vregulačním obvodu

G – vstupně - výstupní (lineární) model řízeného procesu

R, Q – zpětnovazební regulátory

Signály působící vregulačním obvodu

w - žádaná hodnota v – porucha působící na vstupu RS

e – regulační odchylka y – výstupní signál

uv1 – akční zásah regulátoru R uv2 – akční zásah regulátoru Q

u0 – celkový akční zásah u – akční zásah působící na vstupu soustavy

Přenosové funkce obou zpětnovazebních regulátorů uvažujeme ve tvaru:

(40)

kde , a představují nesoudělné polynomy vyjádřené pomocí komplexní proměnné s.

V tomto případě jsou oba vstupní signály w a v (žádaná hodnota a porucha) uvažovány pouze jako skokové funkce sobrazy:

(41)

Pro výstupní signál a poruchu lze odvodit (argument sje u jednotlivých polynomů pro přehlednost vynechán):

	(42)
	(43)

kde:

(44)

kde představuje charakteristický polynom skořeny, které představují póly uzavřeného regulačního obvodu.

Nyní zvolíme polynom tak, že bude platit:

(45)

Polynom poté dosadíme do rovnice (44). Podmínka stability bude splněna, pokud polynomy a budou dány řešením diofantické rovnice:

(46)

se stabilním polynomem na pravé straně.

Pro skokové vstupní signály bude asymptotické sledování referenčního signálu a odstranění poruchy zaručeno, pokud budou obě podmínky a obsahovat s.

Tyto podmínky budou splněny, jestliže polynomy a budou ve tvaru:

	(47)
	(48)

Přenosové funkce regulátorů potom můžeme uvažovat ve tvaru:

(49)

Stabilní polynom ve jmenovateli zajišťuje stabilitu regulátorů.

Aby byla splněna podmínka vnitřní ryzosti řídicího systému, musí stupně polynomů a splňovat následující nerovnosti

(50)

Nyní polynom přepíšeme do tvaru:

(51)

Pokud vezmeme do úvahy řešitelnost (46) a podmínky (50), mohou být stupně jednotlivých polynomů jednoduše určeny jako:

(52)

Pokud označíme , potom polynomy t, r a q jsou ve tvaru:

(53)

kde koeficienty , a splňují podmínky:

(54)

Neznámé koeficienty a mohou být získány pomocí volitelných koeficientů tak, aby platilo:

(55)

Koeficienty rozdělují váhu mezi čitateli přenosových funkcí Q a R. Na základě rozboru Y(s) lze předpokládat, že se zvyšující se hodnotou se zrychluje reakce na skokovou změnu. Podrobněji např. v [3], [4], [10]

Pozn. Pokud pro všechna i, degraduje se uvedené zapojení na 1DOF konfiguraci systému řízení.

Pokud pro všechna i a referenční signál i porucha jsou skokové funkce, potom řídicí systém odpovídá 2DOF konfiguraci systému řízení.

10.1. Volba charakteristického polynomu

Charakteristický polynom bude volen ve tvaru:

(56)

kde představuje stabilní polynom daný spektrální faktorizací:

(57)

kde představuje volitelný váhový koeficient.

Rovnice (57) je známá zmetod LQ řízení (např. v [5], [6], [12]), kde je použita minimalizaci kvadratického funkcionálu:

(58)

11. Regulační pochody - simulace

Pro simulace byly zvoleny modely dvojice zásobníku na kapalinu v ustáleném stavu snásledujícími parametry:

Válcové zásobníky:

, , , , , , a

Kulové zásobníky:

, , , , , a

11.1. Nastavení regulátorů:

Pro oba typy zásobníků byla uvažována konfigurace se dvěma zpětnovazebními regulátory snásledujícími parametry:

, , , , ,

Pozn.: Parametry regulátorů, perioda vzorkování a žádané hodnoty byly zvoleny tak, aby se pokud možno projevily nedostatky lineárního adaptivního řízení a následně aby se ověřilo, zda použití zde uvedené metody nelineárního řízení může vest ke kvalitnějšímu lineárnímu pochodu.

Na kvalitu regulace má vpřípadě zásobníků na kapalinu velmi nepříznivý vliv omezení akčního zásahu, protože předpokládáme, že kapalina může do nádrže pouze přitékat, tj. že není a ani nemůže být odčerpávána. To však způsobuje značné problémy a obecně výrazně snižuje kvalitu regulačního pochodu.

11.2. Vyhodnocení kvality regulačního pochodu

Kvalita regulačního pochodu je vyhodnocována pomocí následujícího kritéria:

(59)

kde:

(60)

11.3. Zásobníky sválcovým průřezem

Adaptivní řízení svyužitím Hammersteinova a Wienerova modelu, řídící parametr
Obr. 10. Výška hladiny v zásobníku	Obr. 11. Akční zásah

Adaptivní řízení bez Hammersteinova a Wienerova modelu, řídící parametr
Obr. 12. Výška hladiny v zásobníku	Obr. 13. Akční zásah

Adaptivní řízení svyužitím Hammersteinova a Wienerova modelu, řídící parametr
Obr. 14. Výška hladiny v zásobníku	Obr. 15. Akční zásah

Adaptivní řízení bez Hammersteinova a Wienerova modelu, řídící parametr
Obr. 16. Výška hladiny v zásobníku	Obr. 17. Akční zásah

Adaptivní řízení svyužitím Hammersteinova a Wienerova modelu, řídící parametr
Obr. 18. Výška hladiny v zásobníku	Obr. 19. Akční zásah

Adaptivní řízení bez Hammersteinova a Wienerova modelu, řídící parametr
Obr. 20. Výška hladiny v zásobníku	Obr. 21. Akční zásah

11.4. Kulové Zásobníky

Adaptivní řízení svyužitím Hammersteinova a Wienerova modelu, řídící parametr
Obr. 22. Výška hladiny v zásobníku	Obr. 23. Akční zásah

Adaptivní řízení bez Hammersteinova a Wienerova modelu, řídící parametr
Obr. 24. Výška hladiny v zásobníku	Obr. 25. Akční zásah

Adaptivní řízení svyužitím Hammersteinova a Wienerova modelu, řídící parametr
Obr. 26. Výška hladiny v zásobníku	Obr. 27. Akční zásah

Adaptivní řízení bez Hammersteinova a Wienerova modelu, řídící parametr
Obr. 28. Výška hladiny v zásobníku	Obr. 29. Akční zásah

Adaptivní řízení svyužitím Hammersteinova a Wienerova modelu, řídící parametr
Obr. 30. Výška hladiny v zásobníku	Obr. 31. Akční zásah

Adaptivní řízení bez Hammersteinova a Wienerova modelu, řídící parametr
Obr. 32. Výška hladiny v zásobníku	Obr. 32. Akční zásah

12. Vyhodnocení výsledků linearizace

Zprovedených simulací je patrné, že linearizace systému dvojice nádrží pomocí Hammersteinova a Wienerova modelu obecně vede ke kvalitnějším regulačním pochodům. Její účinek se nejvýrazněji projevuje především u průběhu akčního zásahu, který je ve srovnání s nelinearizovaným systémem výrazně klidnější a rovněž také nedochází kprudkým výkyvům akčního zásahu při změně žádané hodnoty.

Zprovedených simulací rovněž vyplývá, že účinek linearizace systému je nejpatrnější především vkrizových situacích, kdy výrazným způsobem zvýší kvalitu regulace a zpravidla zabrání přechodu řízeného systému do nestabilního stavu. Tato vlastnost se projevuje nejvýrazněji u systému dvojice kulových zásobníků, které se zhlediska použití prostého lineárního adaptivního řízení zdají méně vhodné – je to dáno jejich výraznější nelinearitou ve srovnání sválcovými zásobníky.

Naopak nevýhodou použité linearizace je skutečnost, že může docházet k (mírnému) prodloužení doby regulace a také, že na počátku regulace dochází kvýraznějšímu poklesu hladiny, což je ale způsobeno omezujícími podmínkami, kdy aktivně bráníme odčerpávání kapaliny ze zásobníků. Rovněž tak nelze dopředu říci, zda a jak výrazného zlepšení kvality regulačního pochodu dosáhneme, protože kvalita řízení nejvíce záleží na nastavení parametrů regulátoru a rovněž také na žádané hodnotě, která nemusí být pro dané vstupní podmínky fyzikálně dosažitelná (např. přítok do druhé nádrže je příliš vysoký a zprvní nádrže by kapalina musela být odčerpávána, apod.).

Zprovedených simulací však lze učinit závěr, že i použití této jednoduché linearizace obecně vede ke zvýšení kvality regulace. Posouzení, zda je toto zvýšení rentabilní, je předmětem dalšího výzkumu.

13. Poděkování

Tento článek vznikl za podpory Univerzity Tomáše Bati ve Zlíně vrámci grantu IGA/FAI/2012/020

14. Seznam použité literatury

[1] NELLES, O. (2001). Nonlinear System Identification, 1. release, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 3-540-67369-5, Berlin.

[2] CORRIOU, J.-P. (2004). Process control Theory and Applications, 1. release, London: Springer-Verlag, ISBN 1-85233-776-1, London.

[3] DOSTÁL, P., BOBÁL V., GAZDOŠ F. (2005), Adaptive control of a nonlinear process by two feedback controllers. In: 13th Mediterranean Conference on Control and Automation, 946-951 ISBN 0-7803-8937-9, Limassol, Cyprus.

[4] BABÍK Z. (2009). Metoda přiřazení pólů v řízení lineárních spojitých SISO systémů, Diplomová práce, Univerzita Tomáše Bati, Fakulta aplikované informatiky, Zlín.

[5] BALÁTĚ, J. (2003). Automatické řízení, 1. vydání, BEN – technická literatura, ISBN 80-7300-020-2, Praha.

[6] BOBÁL, V. (2008). Adaptivní a prediktivní řízení, 1. vydání, Univerzita Tomáše Bati, Fakulta aplikované informatiky, ISBN 80-7318-662-3, Zlín.

[7] BÁNYÁSZ, Cs., KEVICZKY L. (2002). A simple PID regulator applicable for a class of factorable nonlinear plants, In: Proceedings of the American Control Conference Anchorage, 2354-2359, ISBN 0-7803-7298-0.

[8] BABÍK, Z. & DOSTÁL, P. (2011): Hammerstein and Wiener Models in Modeling of Nonlinear Process, Annals of DAAAM for 2011 & Proceedings of the 22nd International DAAAM Symposium, ISBN 978-3-901509-83-4, ISSN 1726-9679, pp 0663-0664, Vienna, Austria

[9] BABÍK, Z. & DOSTÁL, P. (2011): The Hammerstein and Wiener Models in Nonlinear Process Control, Annals of DAAAM for 2011 & Proceedings of the 22nd International DAAAM Symposium, ISBN 978-3-901509-83-4, ISSN 1726-9679, pp 0665-0666, Vienna, Austria.

[10] DOSTÁL, P. (2006), Polynomiální metody, Učební texty pro předmět Stavová a algebraická teorie řízení, část 2. , Zlín: Univerzita Tomáše Bati, Fakulta aplikované informatiky.

[11] DOSTÁL, P. (2006), Matematické modely vybraných technologických procesů, Učební texty pro předmět Analýza a simulace technologických procesů, Zlín: Univerzita Tomáše Bati, Fakulta aplikované informatiky.

[12] VOJTĚŠEK J., Simulation and control of a nonlinear system – continuous stirred tank reactor (CSTR). Research study, Zlín: Univerzita Tomáše Bati, Fakulta technologická, 2003